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quarta-feira, 13 de fevereiro de 2013

Divisibilidade por 2


Quando um número natural na base 10 é divisivel por 2?

Sabemos que um número é divisível por 2 quando ele termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Mas, o que garante isso?
Vamos ver numa forma mais elaborada uma prova do critério de divisibilidade por 2.
Primeiro vamos expressar alguns números na base 10. Veja alguns exemplos abaixo:
25 = 2 x 101 + 5 x 100
170 = 1 x 102 + 7 x 101 + 0 x 100
12503 = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 +  3 x 100
E assim por diante.

            Agora, veja uma prova para qualquer número na base 10 quando é divisível por 2.
           
Um número natural W é divisível por 2 se, e só se, na sua representação na base 10, seu algarismo das unidades é divisível por 2. Ou seja, um número W é divisível por 2 se, e somente se, na sua representação na base 10, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.”
            De fato, vamos representar W na base por:
            W = cn10n + cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102 + c110 + c0
(Suponha o número W = 256 = 2 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100  ==> c2 = 2; c1 = 5   e  c0 = 6)
com cn, cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores do que 10 e c0 sendo o dígito da unidades.
            Se W é divisível por 2, então, explicitamos o valor de c0 como sendo:
           c0 = W – (cn10n + cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102 + c110)
(Para o exemplo, W = 256, temos: 6 = 256 - 250)
            Agora, observe que o número natural,
            (cn10n + cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102 + c110)
é divisível por 2 porque é uma soma de números pares.
(Veja que: 250 = 2 x 102 + 5 x 101)
Logo, c0 é divisível por 2, como diferença de dois números divisíveis por 2.
(c0 = 6 = 256 - 250)
            Se c0 é divisível por 2, nesse caso,
            W = cn10n + cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102 + c110 + c0
é divisível por 2, pois é uma soma finita de números divisíveis por 2.
            Assim, todo número que terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 são divisíveis por 2.



Fonte: Regras de divisibilidade

Adaptado pelo prof. Warles