(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Observe no gráfico alguns dados a respeito da produção e do destino do lixo no Brasil no ano de 2010.
Quanto Brasil produz de sujeira
Veja, São Paulo, dez. 2011 (adaptado).
A partir desses dados, supondo que todo o lixo brasileiro, com exceção dos recicláveis, é destinado aos aterros ou aos lixões, quantos milhões de toneladas de lixo vão para os lixões?
Na composição do lixo brasileiro, temos: 16% + 54% = 61%. Logo,
61% ------ 100%
x % ----- 70%
[tex] x = \frac{61\ \cdot\ 70}{100} = 42,7\ milhões [tex]
Agora, para onde vão os detritos - (lixões).
42,7 milhões ------ 100%
x milhões ------ 18%
[tex] x = \frac{18\ \cdot\ 42,7}{100} = \frac{768,6}{100} = 7,68 [tex] milhões de toneladas
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Médicos alertam sobre a importância de educar as crianças para terem hábitos alimentares saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface (25 g), observam-se as seguintes quantidades de nutrientes, respectivamente:
** carboidratos: 15 g e 0,5 g;
** proteínas: 1,9 g e 0,5 g.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Considerando as informações apresentadas, qual deve ser o número de pés de alface consumidos para se obter a mesma quantidade de carboidratos de uma bolacha?
Para obter a mesma quantidade de carboidratos é necessário compará-los. Ou seja,
15 g ÷ 0,5 g = 30 pés de alface
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma escola da periferia de São Paulo está com um projeto em parceria com as universidades públicas.
Nesse projeto piloto, cada turma encaminhará um aluno que esteja apresentando dificuldades de aprendizagem para um acompanhamento especializado. Para isso, em cada turma, foram aplicadas 7 avaliações diagnósticas.
Os resultados obtidos em determinada turma foram os seguintes:
Sabendo que o projeto visa atender o aluno que apresentar a menor média nas avaliações, deverá ser encaminhado o aluno
Neste caso é necessário encontrar a média de cada aluno e compará-las.
Aluno 1: [tex] \overline{X} = \frac{4,2+4,2+3,2+3,2+3,5+4,2+3,2}{7} = \frac{25,7}{7} = 3,671 [tex]
Aluno 2: [tex] \overline{X} = \frac{8+2,5+1+4+3+4+8}{7} = \frac{30,5}{7} = 4,357 [tex]
Aluno 3: [tex] \overline{X} = \frac{8+5+0,5+3+2,5+4,6+8,6}{7} = \frac{32,2}{7} = 4,600 [tex]
Aluno 4: [tex] \overline{X} = \frac{9+3,5+5+8,5+3,5+7+6}{7} = \frac{42,5}{7} = 6,07 [tex]
Aluno 5: [tex] \overline{X} = \frac{6+8+4+7+9+7+6}{7} = \frac{47}{7} = 6,714 [tex]
Portanto, o aluno 1 precisa de um acompanhamento especializado.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O cometa Halley orbita o Sol numa trajetória elíptica periódica. Ele foi observado da Terra nos anos de 1836 e 1911. Sua última aparição foi em 1986 e sua próxima aparição será em 2061.
Qual é o ano da segunda aparição do cometa anterior ao ano de 2012?
Como o cometa passa a cada 75 anos. Ou seja, 1911 – 1836 = 75 anos.
Portanto, a primeira aparição antes de 2012 foi em 1986. A segunda foi em 1986 – 75 = 1911.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O gráfico mostra o número de pessoas que acessaram a internet, no Brasil, em qualquer ambiente (domicílios, trabalho, escolas, lan houses ou outros locais), nos segundos trimestres dos anos de 2009, 2010 e 2011.
Disponível em: www.prosadigital.com.br. Acesso em: 28 fev. 2012.
Considerando que a taxa de crescimento do número de acessos à internet no Brasil, do segundo trimestre de 2011 para o segundo trimestre de 2012, seja igual à taxa verificada no mesmo período de 2010 para 2011, qual é, em milhões, a estimativa do número de pessoas que acessarão a internet no segundo trimestre de 2012?
Como a taxa de crescimento do número de acessos à internet no Brasil, do segundo trimestre de 2011 para o segundo trimestre de 2012, seja igual à taxa verificada no mesmo período de 2010 para 2011. Então,
x – 77,8 = 77,8 – 73,7
x = 77,8 + 4,1
x = 81,9
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?
Embalagem atual:
[tex] V_{1} = π r^{2}h [tex]
Embalagem Nova:
[tex] V_{2} = π (r')^{2}(\frac{h}{2}) [tex]
Como a nova embalagem ([tex]V_{2} [tex]) tem a metade do volume da embalagem antiga ([tex]V_{1} [tex]). Portanto,
[tex] V_{1} = 2 V_{2} [tex]
[tex] π r^{2}h = π (r')^{2}(\frac{h}{2}) [tex]
[tex] r = r' [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma dona de casa pretende comprar uma escrivaninha para colocar entre as duas camas do quarto de seus filhos. Ela sabe que o quarto é retangular, de dimensões 4 m x 5 m, e que as cabeceiras das camas estão encostadas na parede de maior dimensão, onde ela pretende colocar a escrivaninha, garantindo uma distância de 0,4 m entre a escrivaninha e cada uma das camas, para circulação. Após fazer um esboço com algumas medidas, decidirá se comprará ou não a escrivaninha.
Após analisar o esboço e realizar alguns cálculos, a dona de casa decidiu que poderia comprar uma escrivaninha, de largura máxima igual a
Logo, a largura máxima da escrivaninha é:
0,4 + 1,2 + 0,4 + x + 0,4 + 1,2 + 0,4 = 5
x = 5 - 4
x = 1,0 m
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O gráfico mostra estimativas da produção brasileira de trigo em safras recentes:
Produção de trigo no Brasil
(em milhões de toneladas)
Globo Rural, São Paulo, jun. 2009 (adaptado).
A média da produção brasileira de trigo de 2005/06 a 2009/10, em milhões de toneladas, é de
A média é:
[tex] \overline{X} = \frac{4,87\ +\ 2,44\ +\ 4,09\ +\ 6,01\ +\ 5,4}{5} [tex]
[tex] \overline{X} = \frac{22,81}{5} = 4,562 [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Luíza decidiu pintar seus cabelos e os de sua mãe usando as cores B e C em ambas as tinturas. A cor B é a que tinge os cabelos brancos e a cor C dá um tom mais claro durante a exposição à luz.
Luíza sabe que, em cabelos com muitos fios brancos, como os de sua mãe, a proporção entre as cores C e B é de 1 para 3. Para ela, que tem poucos fios brancos, a proporção a ser aplicada é de 3 partes da cor C para 1 parte da cor B. Além disso, como sua mãe tem cabelos curtos, basta a aplicação de 60 gramas de tintura; já para seus longos cabelos, serão necessários 120 gramas.
De acordo com a situação descrita, a quantidade, em gramas, da tintura da cor B que Luíza deve adquirir para pintar os seus cabelos e os de sua mãe é
Veja a análise da questão:
Logo,
Luiza: [tex] \frac{1}{4} \cdot 120 = 30\ gramas [tex]
Mãe: [tex] \frac{3}{4} \cdot 60 = 45\ gramas [tex]
Somando: 30 gramas + 45 gramas = 75 gramas.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante Φ = 1,618...
Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.
• Candidata I : M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm.
• Candidata II : M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm.
• Candidata III : M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm.
• Candidata IV : M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.
• Candidata V : M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.
CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).
A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi
Encontrar a proporção para cada candidata e comparar com a proporção áurea Φ:
Candidata I: [tex] \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{M_{3}}{M_{2}} → \frac{11}{5,5} = \frac{7}{5,5} → 2 ≠ 1,2727 [tex]
Candidata II: [tex] \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{M_{3}}{M_{2}} → \frac{10,5}{4,5} = \frac{6,5}{4,5} → 2,333 ≠ 1,2727 [tex]
Candidata III: [tex] \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{M_{3}}{M_{2}} → \frac{11,5}{6,5} = \frac{6,5}{3,5} → 1,769 ≠ 1,857 [tex]
Candidata IV: [tex] \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{M_{3}}{M_{2}} → \frac{10}{6,5} = \frac{6,5}{4} → 1,538 ≠ 1,625 [tex]
Candidata IV: [tex] \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{M_{3}}{M_{2}} → \frac{10,5}{6,5} = \frac{6,5}{4} [tex]
→ 1,615 = 1,625 = Φ [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
A logomarca de uma empresa de computação é um quadrado, AEFG, com partes pintadas como mostra a figura. Sabe-se que todos os ângulos agudos presentes na figura medem 45º e que AB = BC = CD = DE. A fim de divulgar a marca entre os empregados, a gerência decidiu que fossem pintadas logomarcas de diversos tamanhos nas portas, paredes e fachada da empresa. Pintadas as partes cinza de todas as logomarcas, sem desperdício e sem sobras, já foram gastos R$ 320,00.
O preço das tintas cinza, preta e branca é o mesmo.
Considerando que não haja desperdício e sobras, o custo para pintar as partes pretas e o custo para pintar as partes brancas serão, respectivamente,
Cinza: 4 partes → R$ 320,00.
Preta:
12 partes: Logo, 3 × 320,00 = R$ 960,00
Branca:
16 partes: Logo, 4 × 320, 00 = R$ 1280,00.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Vulcão Puyehue transforma a paisagem de cidades na Argentina
Um vulcão de 2 440 m de altura, no Chile, estava “parado” desde o terremoto em 1960. Foi o responsável por diferentes contratempos, como atrasos em viagens aéreas, por causa de sua fumaça. A cidade de Bariloche foi uma das mais atingidas pelas cinzas.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Na aula de Geografia de determinada escola, foram confeccionadas pelos estudantes maquetes de vulcões, a uma escala 1 : 40 000. Dentre as representações ali produzidas, está a do Puyehue, que, mesmo sendo um vulcão imenso, não se compara em estatura com o vulcão Mauna Loa, que fica no Havaí, considerado o maior vulcão do mundo, com 12 000 m de altura.
Comparando as maquetes desses dois vulcões, qual a diferença, em centímetros, entre elas?
Utilizando a escala:
1 cm : 40 000 cm → 1 cm : 400 m
Logo,
1 cm ------ 400 m
x cm ------ 2 440 m
[tex] x = \frac{2\ 440}{400} = 6,1\ cm [tex]
e
1 cm ------ 400 m
y cm ------ 12 000 m
[tex] x = \frac{12\ 000}{400} = 30\ cm [tex]
Agora, encontrando a diferença:
30 cm – 6,1 cm = 23,9 cm
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M.
Seja F(x) a função que representa a distância da partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F(x)?
Logo,
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O dono de uma empresa produtora de água mineral explora uma fonte de onde extrai 20 000 litros diários, os quais são armazenados em um reservatório com volume interno de 30 m³, para serem colocados, ao final do dia, em garrafas plásticas. Para aumentar a produção, o empresário decide explorar também uma fonte vizinha, de onde passa a extrair outros 25 000 litros. O reservatório que se encontra em uso possui uma capacidade ociosa que deve ser aproveitada.
Avaliando a capacidade do reservatório existente e o novo volume de água extraído, qual o volume interno mínimo de um novo reservatório que o empresário deve adquirir?
Veja que fica ocioso no primeiro reservatório:
30 m³ – 20 m³ (20 000 litros) = 10 m³
Então, o novo reservatório deve ter capacidade mínima de:
25 m³ – 10 m³ = 15 m³
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = -x² + 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a
Para encontrar a quantidade máxima de bonés é necessário encontrar o x do vértice da parábola. Como o coeficiente da função quadrática é "a" < 0, logo tem ponto de máximo.
Portanto,
[tex] x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2(-1)} = 6 [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
A cotação de uma moeda em relação a uma segunda moeda é o valor que custa para comprar uma unidade da primeira moeda, utilizando a segunda moeda. Por exemplo, se a cotação do dólar é 1,6 real, isso significa que para comprar 1 dólar é necessário 1,6 real.
Suponha que a cotação do dólar, em reais, seja de 1,6 real, a do euro, em reais, seja de 2,4 reais e a cotação da libra, em euros, seja de 1,1 euro.
Qual é a cotação da libra, em dólares?
Veja as informações presentes no texto:
1 dólar ------ 1,6 real
1 euro ------ 2,4 reais
1 libra ------ 1,1 euro
Logo,
1 libra ----- 1,1 (euro) = 1,1 × 2,4 reais = 2,64 reais
[tex] 1\ libra = \frac{2,64\ reais}{1,6\ real} = 1,65\ dólar [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Certa empresa de telefonia oferece a seus clientes dois pacotes de serviço:
• Pacote laranja
Oferece 300 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar R$ 143,00 por mês. Será cobrado o valor de R$ 0,40 por minuto que exceder o valor oferecido.
• Pacote azul
Oferece 100 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar mensalmente R$ 80,00. Será cobrado o valor de R$ 0,90 por minuto que exceder o valor oferecido.
Para ser mais vantajoso contratar o pacote laranja, comparativamente ao pacote azul, o número mínimo de minutos de ligação que o usuário deverá fazer é
Temos no pacote azul:
80 + 0,9x = 143
x = 70
Com essa equação descobre que após 70 minutos o pacote azul passará a pagar o mesmo tanto que o pacote laranja, falando-se apenas 170 minutos, e como o preço do minuto do pacote azul é mais caro. Logo, será mais vantajoso contratar o pacote laranja a partir dos 171 minutos.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Camile gosta de caminhar em uma calçada em torno de uma praça circular que possui 500 metros de extensão, localizada perto de casa. A praça, bem como alguns locais ao seu redor e o ponto de onde inicia a caminhada, estão representados na figura:
Em uma tarde, Camile caminhou 4 125 metros, no sentido anti-horário, e parou.
Qual dos locais indicados na figura é o mais próximo de sua parada?
Como uma volta completa tem 500 metros. Também, como a caminhada de Camile foi de 4 125 metros. Então,
4 125 = 8 × 500 + 125
Ou seja, Camile deu 8 completas mais 125 metros.
Sendo assim, ela passou na Padaria.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Todos os anos, a Receita Federal alerta os contribuintes para não deixarem o envio de seus dados para o último dia do prazo de entrega, pois, após esse prazo, terá que pagar uma multa. Em certo ano, a quatro dias do prazo final, contabilizou-se o recebimento de 16,2 milhões de declarações, o equivalente a cerca de 60% do total estimado pela Receita Federal. Nesse mesmo momento, foi observado que a média de entrada era de aproximadamente 90 000 declarações por hora.
Disponível em: www.folha.uol.com.br. Acesso em: 30 maio 2010 (adaptado).
Considerando o total estimado para entrega e permanecendo nesses últimos dias a mesma média por hora de recebimentos das declarações, qual a quantidade aproximada de pessoas que terão que pagar multa por atraso, sabendo que a Receita Federal recebe declarações 24 horas por dia?
Veja que:
90 mil declarações ----- 1 hora
x mil declarações ----- 96 horas (4 dias)
[tex] x = \frac{90\ 000\ \cdot\ 96}{1} = 8\ 640\ 000 [tex]
Agora, como 10,8 milhões = 10 800 mil, temos:
10 800 mil – 8 640 mil = 2160 mil declarações
que é o mesmo que 2,16 milhões de multas declaradas com multas.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O turismo brasileiro atravessa um período de franca expansão. Entre 2002 e 2006, o número de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 15% e chegou a 1,8 milhão.
Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores está no mercado informal, sem carteira assinada.
Veja, São Paulo, 18 jun. 2008 (adaptado).
Para regularizar os empregados informais que estão nas atividades ligadas ao turismo, o número de trabalhadores que terá que assinar carteira profissional é
Veja que:
1,8 milhão ------ 100%
x milhão ------ 60%
[tex]x = \frac{1,8\ milhão\ \cdot\ 60}{100} = \frac{108\ milhões}{100} [tex]
[tex]x = 1,08\ milhão [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
No filme O colecionador de ossos, produzido pela Columbia Pictures Corporation — Universal Pictures, a pista deixada por um suspeito de certo delito foi a marca de uma pegada no chão. Uma personagem do filme, ciente de que a marca serviria de prova para a investigação, fotografou essa marca ao lado de uma nota de dólar, que mede aproximadamente 15 cm.
Disponível em: www.cinemenu.com.br. Acesso em: 15 jul. 2010 (adaptado).
Ao revelar a foto, essa personagem obteve uma imagem em que o comprimento da cédula de dólar media 3 cm e o da marca da pegada media 6 cm. Qual a relação numérica entre a marca no chão e a marca na imagem revelada?
foto Nota de Dólar
3 cm ------ 15 cm
1 cm ------ 5 cm
Logo, a nota de dólar é cinco vezes maior.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal.
Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão.
Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga?
Sejam "n" e "c", respectivamente, o número de caminhões e a capacidade máxima de cada caminhão.
Logo, como:
[tex] n \cdot c = 90 [tex]
e
[tex] (n+6) \cdot (c - \frac{1}{2}) = 90 [tex]
Daí segue-se que:
[tex] n^{2} + 6n - 1080 = 0 [tex]
Resolvendo a equação do 2° grau, obtemos: x' = 30 e x" = -36.
Daí, como "n" é natural, só pode ser "n" = 30.
Portanto, o resultado pedido é 30 + 6 = 36.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio.
Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é
(Aproxime [tex]\sqrt{3} [tex] para 1,7 e π para 3.)
Considere a figura.
Do triângulo ACF, vem que:
[tex] cos(A\widehat{C}F) = \frac{\overline{AC}}{\overline{CF}} = \frac{2,5}{5} = 0,5[tex]
[tex] \Rightarrow A\widehat{C}F = 60° [tex]
Logo,
[tex] E\widehat{C}F = 180° - A\widehat{C}F = 180° - 60° = 120° [tex]
Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH segue-se que a área pedida é dada por:
[tex] = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{CF} \cdot sen(A\widehat{C}F) + \frac{1}{3} \cdot π \cdot \overline{CF}^{2} [tex]
[tex] = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot 5^{2}) [tex]
[tex] \cong 2 \cdot (\frac{25}{8} \cdot 1,7 + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 25) [tex]
[tex] \cong 61\ m^{2} [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma fábrica possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2 000 peças e a máquina N produz 3 000 peças.
Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, das 2 000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 120 peças, das 3 000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa.
Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M?
Se o enunciado disse que ele pegou uma peça estragada então a probabilidade de estar estragada é 100%.
Logo, o total de peças estragas são 180, e 60 são as máquinas estragadas de M.
Portanto a probabilidade buscada é:
[tex] \frac{60}{180} = \frac{1}{3} [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Nos últimos anos, a frota de veículos no Brasil tem crescido de forma acentuada. Observando o gráfico, é possível verificar a variação do número de veículos (carros, motocicletas e caminhões), no período de 2000 a 2010.
Projeta-se que a taxa de crescimento relativo no período de 2000 a 2010 mantenha-se para década seguinte.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2012 (adaptado).
Qual será o número de veículos no ano de 2020?
A taxa de crescimento relativo no período de 2000 a 2010 foi de:
[tex] \frac{66\ -\ 30}{30} = \frac{36}{10} = 1,2 [tex]
Portanto, mantida esta taxa para a próxima década, em 2020 o número de veículos será, em milhões, igual a:
[tex] 66 \cdot (1 + 1,2) = 145,2[tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Existem hoje, no Brasil, cerca de 2 milhões de pessoas que sofrem de epilepsia. Há diversos meios de tratamento para a doença, como indicado no gráfico:
Veja, São Paulo, 18 abr. 2010 (adaptado).
Considere um estado do Brasil, onde 400 000 pessoas sofrem de epilepsia. Nesse caso, o número de pessoas que conseguem se recuperar com o uso de medicamentos, ou se curar a partir da cirurgia para retirada da porção doente do cérebro, é aproximadamente
Pelo gráfico temos:
400 000 pessoas ----- 100 %
x pessoas ----- 85% = (70% + 15%)
[tex] x = \frac{400\ 000\ \cdot\ 85}{100} = 340\ 000 [tex] pessoas
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos.
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:
A) Está errada por o valor de X está incorreto, pois o mesmo vale x = 1,7.
B) Incorreta. Pois x e z são positivos.
C) Incorreta. z = 1,5 e y = – 0,5.
D) CORRETA. Pois, x = 1,7; y = – 0,5; z = 1,5 e T = – 2,5.
E) Incorreta. Pois T = – 2,5.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares.
Regras de acessibilidade ao meio físico para o deficiente.
Disponível em: www.ibdd.org.br. Acesso em: 28 jun. 2011(adaptado).
Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma dona de casa vai ao supermercado fazer a compra mensal. Ao concluir a compra, observa que ainda lhe restaram R$ 88,00. Seus gastos foram distribuídos conforme mostra o gráfico. As porcentagens apresentadas no gráfico são referentes ao valor total, em reais, reservado para a compra mensal.
Qual o valor total, em reais, reservado por essa dona de casa para a compra mensal?
O gasto total encontramos diretamente pelo gráfico:
30,2% + 17,5% + 12,4% + 22,3% = 82,4%
Logo, o restante é:
100% – 82,4% = 17,6%
Portanto,
17,6% ----- R$ 88,00
100 % ----- x R$
[tex] x = \frac{88\ \cdot\ 100}{17,6} = \frac{8\ 800}{17,6} = R \$\ 500,00 [tex]
Sendo assim, o valor reservado por essa dona de casa para a compra mensal é de R$ 500,00.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no quadro:
Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso
A área do espaço é igual a:
[tex] 4 \cdot 6 = 24\ cm^{2} = 240\ 000\ cm^{2} [tex]
Cada quadrado do tipo I tem área igual a 20² = 400 cm². Logo, o custo do piso I é:
[tex] x = \frac{240\ 000}{400} \cdot 15,00 = R \$\ 9.000,00 [tex]
Cada retângulo do tipo II tem área igual a: 30 ∙ 20 = 600 cm². Assim, o custo do piso II é:
[tex] x = \frac{240\ 000}{600} \cdot 20,00 = R \$\ 8.000,00 [tex]
Cada quadrado do tipo III tem área igual a 25² = 625 cm². Desse modo, o custo do piso III é:
[tex] x = \frac{240\ 000}{625} \cdot 25,00 = R \$\ 9.600,00 [tex]
Cada retângulo do tipo IV tem área igual a: 16 ∙ 25 = 400 cm². Desse modo, o custo do piso IV é
[tex] x = \frac{240\ 000}{400} \cdot 20,00 = R \$\ 12.000,00 [tex]
Cada quadrado do tipo V tem área igual a 410² = 1600 cm². Então, o custo do piso V é:
[tex] x = \frac{240\ 000}{1600} \cdot 60,00 = R \$\ 9.000,00 [tex]
Logo, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso II.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:
A região indicada é a que João tem a menor probabilidade de acertar. Nessa região ele ganha 4 prêmios.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O tipo mais comum de bebida encontrado nos supermercados não é o suco, mas o néctar de frutas.
Os fabricantes de bebida só podem chamar de suco os produtos que tiverem pelo menos 50% de polpa, a parte comestível da fruta. Já o néctar de frutas é mais doce e tem entre 20% e 30% de polpa de frutas.
Superinteressante, São Paulo, ago. 2011.
Uma pessoa vai ao supermercado e compra uma caixa de 1 litro de bebida. Em casa ela percebe que na embalagem está escrito “néctar de frutas com 30% de polpa”. Se essa caixa fosse realmente de suco, necessitaria de um aumento percentual de polpa de, aproximadamente,
O aumento percentual deveria ser de:
[tex] \frac{50\ -\ 30}{30} \cdot 100\ \cong 67 \% [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.
Quantos algarismos tem um gugolplex?
Observamos o que ocorre com números pequenos.
10² = 100 (você tem 3 algarismos: 2 zeros + 1)
10³ = 1000 (4 algarismos: 3 zeros + 1)
10⁴ = 10000 (5 algarismos: 4 zeros + 1)
⁞ ⁞
Percebemos que sempre tem o número ao qual o 10 está elevado (expoente) + 1.
No caso da questão, o gugol = [tex]10^{100}[tex] (1 seguido de 100 zeros) e o gugolplex = [tex]((10)^{10})^{10}[tex].
Se nós generalizarmos o que percebemos lá em cima, o número de algarismos será o expoente +1, ou seja, [tex]10^{100} + 1[tex].
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma empresa aérea lança uma promoção de final de semana para um voo comercial. Por esse motivo, o cliente não pode fazer reservas e as poltronas serão sorteadas aleatoriamente. A figura mostra a posição dos assentos no avião:
Avião com 38 fileiras de poltronas.
Por ter pavor de sentar entre duas pessoas, um passageiro decide que só viajará se a chance de pegar uma dessas poltronas for inferior a 30%.
Avaliando a figura, o passageiro desiste da viagem, porque a chance de ele ser sorteado com uma poltrona entre duas pessoas é mais aproximada de
O número total de assentos é igual a (9 +12 +13) × 6 + 2 × 8 = 220. Além disso, o número de assentos em que o passageiro sente-se desconfortável é (9 +12 +13) × 2 = 68.
Portanto, a probabilidade do passageiro ser sorteado com uma poltrona entre duas pessoas é mais aproximada de:
[tex] x = \frac{68}{220} \cdot 100 \%\ \cong\ 31 \%[tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?
As distâncias diárias percorridas constituem uma progressão aritmética de primeiro termo, [tex] a_{1} = 300[tex] e razão r = 200. Logo, a distância percorrida no dia "n" é dada por:
[tex] d_{n} = 200n + 100 [tex]
Queremos calcular "n" de modo que [tex] S_{n} ≤ 9\ 500[tex], com Sn sendo a distância total percorrida após "n" dias.
Assim,
[tex] (\frac{300\ \cdot\ 200n\ +\ 100}{2}) \cdot n ≤ 9\ 500 [tex]
[tex] n^{2} + 2n - 95 = 0 [tex]
[tex] 1 ≤ n ≤ 4\sqrt{6} - 1 [tex]
Portanto, como [tex] 4\sqrt{6} - 1 \cong 8,8 [tex] segue-se que o chip poderá armazenar a quilometragem do plano de treino por 8 dias consecutivos.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 2011.
A partir de então, o pagamento mensal não poderá ser inferior a 15% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012, uma dívida de R$ 1 000,00 na fatura de seu cartão de crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura. Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra.
A dívida desse consumidor em 01/05/2012 será de
O segredo da questão é ver que ele vai pagar – 20% e +10% do valor (R$ 1 000,00).
1º) Substitui na fórmula:
F1 = 1 – 20% = 1 – 0,2 = 0,8
F2 = 1 + 10% = 1 + 0,1 = 1,1
Agora, fazendo: 0,8 × 1,1 = 0,88
2º) Multiplica 1000 pelo valor "F" encontrado no decorrer dos meses:
• 01/03/2012: R$ 1000,00 → 1000 × 0,88 = 880,00
• 01/04/2012: R$ 880,00 → 880,00 × 0,88 = 774,4
Então.
• 01/05/2012: R$ 774,40
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Em um folheto de propaganda foi desenhada uma planta de um apartamento medindo 6 m × 8 m, na escala 1 : 50. Porém, como sobrou muito espaço na folha, foi decidido aumentar o desenho da planta, passando para a escala 1 : 40.
Após essa modificação, quanto aumentou, em cm², a área do desenho da planta?
Na escala 1 : 50, 6 m e 8 m são respectivamente iguais a 12 cm e 16 cm. Pois:
1 cm ----- 50 cm
x cm ----- 600 cm
[tex] x = \frac{600}{50} = 12\ cm [tex]
e
1 cm ------ 50 cm
x cm ----- 800 cm
[tex] x = \frac{800}{50} = 16\ cm [tex]
Assim, a área do desenho na escala 1 : 50 → 12 × 16 = 192 cm².
Na escala 1 : 40, 6 cm e 8 cm são, respectivamente, iguais a 15 e 20 cm.
1 cm ----- 40 cm
x cm ----- 600 cm
[tex] x = \frac{600}{40} = 15\ cm [tex]
e
1 cm ------ 40 cm
x cm ----- 800 cm
[tex] x = \frac{800}{40} = 20\ cm [tex]
Assim, a área do desenho na escala 1 : 40 → 15 × 20 = 300 cm².
Então, a área do desenho aumentou 300 – 192 = 108 cm².
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a R$ 10,00, sempre contava com 1 000 pessoas a cada apresentação, faturando R$ 10 000,00 com a venda dos ingressos.
Entretanto, percebeu também que, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos.
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por:
Sejam V o valor da entrada e "n" o número de aumentos de R$ 2,00. Logo,
[tex] V = 10 + 2n \Longrightarrow n = \frac{V - 10}{2} [tex]
Assim, temos:
[tex] P = 1000 - 40n = 100 - 40 \cdot (\frac{V - 10}{2}) [tex]
[tex] P = 1200 - 20V [tex]
O que implica em [tex] V = 60 - \frac{P}{20} [tex], e portanto:
[tex] F = (60 - \frac{P}{20}) \cdot P = - \frac{P^2}{20} + 60P [tex]
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma dona de casa faz um comparativo de custos para decidir se irá adquirir uma máquina lavadora de louças para substituir a lavagem manual. Decide calcular o custo com a lavagem de louças por um período de 30 dias, com duas lavagens por dia. Ela constatou que não precisa considerar os custos do detergente e do sabão, pois, na máquina lavadora e na lavagem manual, são equivalentes. Verificou que gasta em média 90 litros de água em cada lavagem manual. Cada lavagem na máquina gasta 16 litros de água e 0,9 kWh de energia.
Sabe-se que a companhia de distribuição de água cobra R$ 6,25 por metro cúbico (pelo consumo de água e dispersão e tratamento de esgoto) e a companhia elétrica cobra R$ 0,45 por kWh consumido.
De acordo com essas informações, num período de 30 dias, a lavagem manual ficará mais cara que a da máquina lavadora em quantos reais?
LAVAGEM MANUAL:
30 × 2 × 90 L = 5 400 L → [tex] \frac{5400}{1000} = 5,4\ m^{3} [tex]
Custo:
5,4 × R$ 6,25 = R$ 33,75
LAVAGEM - MAQUINA:
30 × 2 × 16 = 960 L → [tex] \frac{960}{1000} = 0,96\ m^{3} [tex].
Custo da Água:
0,96 × R$ 6,25 = R$ 6,00
Custo da Energia:
60 × 0,9 x R$ 0,45 = R$ 24,30
Logo, o total:
R$ 24,3 + R$ 6,00 = R$ 30,30
Portanto,
R$ 33,75 – R$ 30,30 = R$ 3,45
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
A tabela apresenta os registros de ocorrência de acidentes de trabalho por categorias econômicas no Brasil, no mês de julho de 2001:
Considerando os dados dispostos na tabela, uma pessoa que pretende ingressar no mercado de trabalho decide pela ocupação de menor grau de risco de acidente de trabalho. Sabendo que o grau de risco é a probabilidade de ocorrência de acidentes de trabalho em categorias de atividade econômica, sua opção é se empregar na atividade econômica
É aquela que tem um menor percentual de afastamento (não necessariamente aquela que afasta menos pessoas).
Dessa forma tem que calcular os percentuais de afastamentos e decidir pela atividade que tiver o menor percentual de afastamento. Será destacados as atividades econômica: (crédito e administração pública).
Crédito:
[tex] \frac{6\ 000}{524\ 000} = 0,01145 \cdot 100 = 1,145 \% [tex]
Administração pública:
[tex] \frac{2\ 000}{1\ 138\ 000} = 0,01757 \cdot 100 = 1,176 \% [tex]
Logo, Administração pública tem menor grau de risco.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo
Como o número de bactérias reduz a metade a cada unidade de tempo. Logo, podemos escrevê-la como [tex] f(x) = (\frac{1}{2})^{x} [tex]. Logo, é uma função exponencial.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma fábrica de brinquedos educativos vende uma caixa com fichas pretas e fichas brancas para compor sequências de figuras seguindo padrões. Na caixa, a orientação para representar as primeiras figuras da sequência de barcos é acompanhada deste desenho:
Qual é o total de fichas necessárias para formar a 15ª figura da sequência?
Observando a figura fornecida, vemos que a parte superior apresenta o número de fichas que variam de 1 até o número da figura:
figura 1: 1 ficha
figura 2: 1 + 2 = 3 fichas
figura 3: 1 + 2 + 3 = 6 fichas
⁞
figura 1: 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 13 + 14 + 15 = 120 fichas
Já parte inferior possui para cada figura n a quantidade de [tex] (n+1) \cdot n [tex] fichas;
figura 1: (1 + 1) × 1 = 2 fichas.
figura 2: (2 + 1) × 2 = 6 fichas.
figura 3: (3 + 1) × 3 = 12 fichas.
figura 4: (4 + 1) × 4 = 20 fichas.
⁞
figura 15: (15 + 1) × 15 = 240 fichas.
Portanto o total será: 120 + 240 = 360 fichas.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Uma característica interessante do som é sua frequência. Quando uma fonte sonora se aproxima do ouvinte, o som ouvido por ele tem uma frequência maior do que o som produzido pela mesma fonte sonora, se ela estiver parada. Entretanto, se a fonte sonora se afasta do ouvinte, a frequência é menor. Esse fenômeno é conhecido como efeito Doppler.
Um ouvinte parado junto a uma fonte ouve o seu som com uma frequência constante, que será denotada por f . Quatro experimentos foram feitos com essa fonte sonora em movimento. Denotaremos por f ₁, f ₂, f ₃ e f ₄ as frequências do som da fonte sonora em movimento ouvido pelo ouvinte, que continua parado, nos experimentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
Depois de calculadas as frequências, as seguintes relações foram obtidas:
f ₁ = 1,1 f
f ₂ = 0,99f ₁
f ₁ = 0,9f ₃
f ₄ = 0,9f
Em quais experimentos a fonte sonora se afastou do ouvinte?
Para que a fonte sonora se afaste do ouvinte, devemos ter a frequência menor. Sendo assim, temos:
[tex] f_{1} = 1,1f → f_{1} > f [tex]
[tex] f_{2} = 0,99f_{1} → f_{2} < f_{1} [tex]
[tex] f_{1} = 0,9f_{3} → f_{1} < f_{3} [tex]
[tex] f_{4} = 0,9f → f_{4} < f [tex]
Logo,
[tex] f_{4} < f < f_{1} < f_{3} e f_{2} < f_{1} [tex]
Portanto, o experimento [tex] f_{4} [tex] que a fonte sonora afastou do ouvinte.
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.
Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são
Do gráfico, tem-se que o saldo devedor inicial é R$ 500,00. Além disso, como a capitalização é composta, podemos concluir que a parcela mensal de juros é variável.
Finalmente, supondo uma taxa de juros constante e igual a [tex] 10 \%[tex] ao mês, teríamos, ao final de 6 meses, um saldo devedor igual a [tex] 500 \cdot (1,1)^{6} = R \$\ 885,78 [tex]
Portanto, comparando esse resultado com o gráfico, podemos afirmar que a taxa de juros mensal é superior a [tex] 10 \%[tex].
(ENEM 2013 - 2ª Aplicação).
A estimativa do número de indivíduos de uma população de animais frequentemente envolve a captura, a marcação e, então, a liberação de alguns desses indivíduos. Depois de um período, após os indivíduos marcados se misturarem com os não marcados, realiza-se outra amostragem. A proporção de indivíduos desta segunda amostragem que já estava marcada pode ser utilizada para estimar o tamanho da população, aplicando-se a fórmula:
Onde:
• n₁ = número de indivíduos marcados na primeira amostragem;
• n₂ = número de indivíduos marcados na segunda amostragem;
• m₂ = número de indivíduos da segunda amostragem que foram marcados na primeira amostragem;
• N = tamanho estimado da população total.
SADAVA, D. et al. Vida: a ciência da biologia. Porto Alegre: Artmed, 2010 (adaptado).
Durante uma contagem de indivíduos de uma população, na primeira amostragem foram marcados 120; na segunda amostragem foram marcados 150, dos quais 100 já possuíam a marcação.
O número estimado de indivíduos dessa população é
Dados:
[tex] n_{1} = 120[tex]
[tex] n_{2} = 150[tex]
[tex] m_{2} = 150 - 50 = 100[tex]
Portanto,
[tex] \frac{m_{2}}{n_{2}} = \frac{n_{1}}{N} [tex]
[tex] \frac{100}{150} = \frac{120}{N} [tex]
[tex] N = 180 [tex]
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